Cálculo Exemplos

$x y d y = (x^{2} + y^{2}) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $(x^{2} + y^{2}) d x$ dos dois lados da equação.

$x y d y - (x^{2} + y^{2}) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + y^{2})]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (x^{2} + y^{2})$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 2.4

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 y = y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - y}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x y$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x y$ por $N$ .

$\frac{- 2 y - y}{x y}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{- 3 y}{x y}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y}{x y}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{x}$

Etapa 5.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (x^{2} + y^{2}) d x + x y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- (x^{2} + y^{2})$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- x^{2} - y^{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.7

Reescreva $- (x^{2} + y^{2})$ como $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y d y = 0$

Etapa 7.9

Multiplique $x y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.10

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.10.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.10.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.10.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.10.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.11

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $\frac{1}{x^{2}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int y d y$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.3

Multiplique $2$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.4

Combine $\frac{1}{2 x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{2}}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.10

Combine $- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.11

Combine $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{2} x^{- 3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.12

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.13

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 12.3.13.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.13.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- y^{2})}{2 (x^{3})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- y^{2})}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1.1

Some $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + x^{2} + y^{2}}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Combine os termos opostos em $- y^{2} + x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 13.1.1.3.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} + 0}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2}}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- \frac{1}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Etapa 14.5

Simplifique.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{2}} - \ln (| x |) + C$