Cálculo Exemplos

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y^{2} d x$ dos dois lados da equação.

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y + y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Etapa 3.4.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 y = y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $- y^{2}$ por $M$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $- y^{2}$ por $M$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y$ de $y - (- 2 y)$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $y$ de $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $y$ de $y \cdot 3$ .

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{- y}$

Etapa 5.3.4

Substitua $- y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| y |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Fatore $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $x y + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $x y + y^{2}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.5

Fatore $y$ de $x y + y^{2}$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.5.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.5.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.6.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Etapa 7.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Etapa 7.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Etapa 9.2

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x}{y} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.5.2

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 12.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Subtraia $\frac{x + y}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.5

Subtraia $y$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.6.1.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.6.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Etapa 13.1.1.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Etapa 13.1.1.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Etapa 13.1.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Etapa 13.1.2

Some $\frac{1}{y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 14.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$