Cálculo Exemplos

$(y^{2} - 1) x d x + (x^{2} + 3) y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y^{2} - 1) x d x$ dos dois lados da equação.

$(x^{2} + 3) y d y = - (y^{2} - 1) x d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} + 3$ de $(x^{2} + 3) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) (y)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{y^{2} - 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ para o numerador.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $y^{2} - 1$ de $(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.5.3

Fatore $y^{2} - 1$ de $(y^{2} - 1) x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) (x)) d x$

Etapa 3.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Etapa 3.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 3} x d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{- 1}{x^{2} + 3}$ e $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Depois, $d u_{1} = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y + 1$ e $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.4.2

Multiplique $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.1.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 4.2.1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 4.2.1.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Etapa 4.2.1.1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.3.8.2

Multiplique $y - 1$ por $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Etapa 4.2.1.1.3.8.3

Some $y$ e $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Etapa 4.2.1.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Etapa 4.2.1.1.3.8.4.2

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = x^{2} + 3$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.3.2.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Expanda $(y + 1) (y - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Some $- y$ e $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Some $y^{2}$ e $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $\ln (| x^{2} + 3 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + 2 C$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} + 3 |) = 2 C$

Etapa 5.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} + 3 |) = 2 C$

Etapa 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} + 3) |) = 2 C$

Etapa 5.6

Expanda $(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} (x^{2} + 3) - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

Etapa 5.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

Etapa 5.7.2

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

Etapa 5.7.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$

Etapa 5.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |)} = e^{2 C}$

Etapa 5.9

Reescreva $\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |$

Etapa 5.10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Reescreva a equação como $| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$ .

$| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$

Etapa 5.10.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 = \pm e^{2 C}$

Etapa 5.10.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - 3 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

Etapa 5.10.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Etapa 5.10.4

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x^{2} + 3 y^{2}$ .

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Etapa 5.10.4.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Etapa 5.10.4.2

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3 = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Etapa 5.10.4.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

Etapa 5.10.5

Divida cada termo em $y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ por $x^{2} + 3$ e simplifique.

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Etapa 5.10.5.1

Divida cada termo em $y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ por $x^{2} + 3$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Etapa 5.10.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.10.5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3$ .

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Etapa 5.10.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Etapa 5.10.5.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Etapa 5.10.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.10.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

Etapa 5.10.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}$

Etapa 5.10.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$

Etapa 5.10.7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ .

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Etapa 5.10.7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

Etapa 5.10.7.2

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

Etapa 5.10.7.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.10.7.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}$

Etapa 5.10.7.3.2

Eleve $\sqrt{x^{2} + 3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} \sqrt{x^{2} + 3}}$

Etapa 5.10.7.3.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + 3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 3}}^{1}}$

Etapa 5.10.7.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.10.7.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}}$

Etapa 5.10.7.3.6

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}$ como $x^{2} + 3$ .

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Etapa 5.10.7.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 3}$ como ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{({(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.10.7.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.10.7.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.7.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.10.7.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.7.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{1}}$

Etapa 5.10.7.3.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{x^{2} + 3}$

Etapa 5.10.7.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$