Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = 1 + t - x - t x$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) - x - t x$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d x}{d t} = 1 (1 + t) - x (1 + t)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $1 + t$ .

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) (1 - x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 + t) (1 - x))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $1 - x$ de $(1 + t) (1 - x)$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = 1 + t$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 - x} d x = (1 + t) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 - x} d x = \int 1 + t d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 1 + t d t$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int d t + \int t d t$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| 1 - x |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - x |) = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2})$ como $- (\frac{1}{2} t^{2})$ .

$\ln (| 1 - x |) = - (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{t}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot t$ como $- t$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.6

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.7

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$

Etapa 3.2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - x |)} = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} = | 1 - x |$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Para escrever $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.2

Para escrever $\frac{- 1}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.4.3.3.1

Multiplique $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.3

Multiplique $\frac{- 1}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.2

Reescreva $- 1 (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ como $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.6

Divida $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$ por $1$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}) + 1$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}$ como $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}) + 1$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}$ e $e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$x = - (C e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$