Cálculo Exemplos

$\frac{d p}{d t} = 0.2 p - 10$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{0.2 p - 10}$ .

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{0.2 p - 10} (0.2 p - 10)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $0.2 p - 10$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{0.2 p - 10} (0.2 p - 10)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{0.2 p - 10} \frac{d p}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{0.2 p - 10} d p = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{0.2 p - 10} d p = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 0.2 p - 10$ . Depois, $d u = 0.2 d p$ , então, $\frac{1}{0.2} d u = d p$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 0.2 p - 10$ . Encontre $\frac{d u}{d p}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{0.2}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $0.2$ por $1$ .

$0.2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{5}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2

Como $5$ é constante com relação a $u$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $0.2 p - 10$ .

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $p$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $5 \ln (| 0.2 p - 10 |) = t + C$ por $5$ .

$\frac{5 \ln (| 0.2 p - 10 |)}{5} = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \ln (| 0.2 p - 10 |)}{5} = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 0.2 p - 10 |)$ por $1$ .

$\ln (| 0.2 p - 10 |) = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$

Etapa 3.2

Para resolver $p$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 0.2 p - 10 |)} = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 0.2 p - 10 |) = \frac{t}{5} + \frac{C}{5}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} = | 0.2 p - 10 |$

Etapa 3.4

Resolva $p$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 0.2 p - 10 | = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$ .

$| 0.2 p - 10 | = e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$0.2 p - 10 = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}$

Etapa 3.4.3

Some $10$ aos dois lados da equação.

$0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$ por $0.2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $0.2 p = \pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}} + 10$ por $0.2$ .

$\frac{0.2 p}{0.2} = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $0.2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.2 p}{0.2} = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $p$ por $1$ .

$p = \frac{\pm e^{\frac{t}{5} + \frac{C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$p = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$p = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{5}})}{0.2} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Fatore $0.2$ de $0.2$ .

$p = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.3.1.4

Separe as frações.

$p = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{1} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.3.1.5

Divida $1$ por $0.2$ .

$p = 5 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{5}}}{1} + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.3.1.6

Divida $\pm e^{\frac{t + C}{5}}$ por $1$ .

$p = 5 (\pm e^{\frac{t + C}{5}}) + \frac{10}{0.2}$

Etapa 3.4.4.3.1.7

Divida $10$ por $0.2$ .

$p = 5 (\pm e^{\frac{t + C}{5}}) + 50$