Cálculo Exemplos

$\frac{d P}{d t} = 2 e^{3 t}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d P = 2 e^{3 t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d P = \int 2 e^{3 t} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$P + C_{1} = \int 2 e^{3 t} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$P + C_{1} = 2 \int e^{3 t} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 3 t$ . Depois, $d u = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 3 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$P + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$P + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$P + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t$ .

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 t} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$P = \frac{2}{3} e^{3 t} + K$