Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y$ , $y (0) = \frac{1}{3}$

Etapa 1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Etapa 7.5

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Etapa 7.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.8.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Etapa 7.10

Reescreva $2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Etapa 7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 8.1.2

Remova os parênteses.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.1.1.1

Fatore $e^{3 x}$ de $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ .

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Etapa 8.2.3.1.1.1.1

Fatore $e^{3 x}$ de $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.1.2

Fatore $e^{3 x}$ de $- \frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.1.3

Fatore $e^{3 x}$ de $e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.3

Para escrever $\frac{x}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.3.1.1.4.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.7

Combine expoentes.

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Etapa 8.2.3.1.1.7.1

Combine $\frac{3 x - 1}{9}$ e $2$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.7.2

Combine $\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.1.8

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.3

Combine.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2

Para escrever $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.3

Para escrever $\frac{C}{e^{3 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 8.2.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9 e^{3 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.3.4.1

Multiplique $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 8.2.3.4.2

Multiplique $\frac{C}{e^{3 x}}$ por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Etapa 8.2.3.4.3

Reordene os fatores de $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.5

Mova $9$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $\frac{1}{3}$ por $y$ em $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ .

$\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 0 e^{3 \cdot 0} - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$ .

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} = \frac{1}{3}$

Etapa 10.2

Multiplique os dois lados por $9 e^{3 \cdot 0}$ .

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1

Simplifique $\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $9 e^{3 \cdot 0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C}{9 e^{3 \cdot 0}} (9 e^{3 \cdot 0}) = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$6 \cdot (0 e^{3 \cdot 0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$6 \cdot (0 e^{0}) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$6 \cdot (0 \cdot 1) - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.2.3

Multiplique $6 (0 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $1$ .

$6 \cdot 0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.2.3.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 - 2 e^{3 \cdot 0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.2.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 2 e^{0} + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.2.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.2.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1.3.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2 + 9 C = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.1.1.3.2

Reordene $- 2$ e $9 C$ .

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$

Etapa 10.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique $\frac{1}{3} (9 e^{3 \cdot 0})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1.1

Fatore $3$ de $9 e^{3 \cdot 0}$ .

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

Etapa 10.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$9 C - 2 = \frac{1}{3} (3 (3 e^{3 \cdot 0}))$

Etapa 10.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$9 C - 2 = 3 e^{3 \cdot 0}$

Etapa 10.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$9 C - 2 = 3 e^{0}$

Etapa 10.3.2.1.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$9 C - 2 = 3 \cdot 1$

Etapa 10.3.2.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$9 C - 2 = 3$

Etapa 10.4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$9 C = 3 + 2$

Etapa 10.4.1.2

Some $3$ e $2$ .

$9 C = 5$

Etapa 10.4.2

Divida cada termo em $9 C = 5$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Divida cada termo em $9 C = 5$ por $9$ .

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 C}{9} = \frac{5}{9}$

Etapa 10.4.2.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{5}{9}$

Etapa 11

Substitua $\frac{5}{9}$ por $C$ em $y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua $\frac{5}{9}$ por $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

Etapa 11.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 (\frac{5}{9})}{9 e^{3 x}}$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 5}{9 e^{3 x}}$

Etapa 11.2.2

Reordene os termos.

$y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

Etapa 11.3

Reordene os fatores em $y = \frac{6 e^{3 x} x + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} + 5 - 2 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$