Cálculo Exemplos

$3 y \frac{d y}{d x} = 8 x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$3 y d y = 8 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 3 y d y = \int 8 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int y d y = \int 8 x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 8 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $8$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{8}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Combine.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $\frac{8}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8 x^{3}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine.

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Combine $\frac{2}{3}$ e $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ .

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Etapa 3.4.1

Para escrever $\frac{2 K}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.4.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $\frac{2 K}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

Etapa 3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.4.1

Fatore $2$ de $16 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

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Etapa 3.4.4.1.1

Fatore $2$ de $16 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

Etapa 3.4.4.1.2

Fatore $2$ de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

Etapa 3.4.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

Etapa 3.4.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Etapa 3.4.5

Reescreva $\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))$ .

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Etapa 3.4.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $2 (8 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{9}}$

Etapa 3.4.5.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.4.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}$

Etapa 3.4.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$

Etapa 3.4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$