Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} \sqrt{x + 1}}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Etapa 1.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Etapa 1.2.4.2

Eleve $\sqrt{x + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Etapa 1.2.4.3

Eleve $\sqrt{x + 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Etapa 1.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Etapa 1.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Etapa 1.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Etapa 1.2.4.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Etapa 2.3.2.2

Divida a fração em diversas frações.

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Etapa 2.3.2.2.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.3.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.2.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reordene os fatores em $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = 2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $2 y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ por $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ por $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K}$