Cálculo Exemplos

$(3 x^{2} - 2 y^{2}) d y - 2 x y d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva.

$- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Etapa 2.2

Como $- 2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $y$ é $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x^{2} - 2 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 y^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- 2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + 0$

Etapa 3.4.2

Some $6 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 6 x$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 x = 6 x$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $6 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $- 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $- 2 x y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $- 2 x y$ por $M$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $x$ de $6 x - (- 2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $x$ de $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- (- 2))}{- 2 x y}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 6 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (6 - (- 2))}{- 2 x y}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x (6 + 2)}{- 2 x y}$

Etapa 5.3.2.3

Some $6$ e $2$ .

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{- 2 y}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $8$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (4)}{- 2 y}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (4)}{2 (- y)}$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (- y)}$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{- y}$

Etapa 5.3.5

Substitua $- 2 x y$ por $M$ .

$- \frac{4}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Etapa 6.2

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Simplifique $- 4 \ln (| y |)$ movendo $- 4$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 2 x y$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- 2 x y \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Fatore $y$ de $y^{4}$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum.

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.4

Reescreva a expressão.

$- 2 x \frac{1}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4

Combine $x$ e $\frac{- 2}{y^{3}}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $3 x^{2} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Etapa 7.8

Multiplique $3 x^{2} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = - \frac{2 x}{y^{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Etapa 9.2

Como $\frac{2}{y^{3}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{y^{3}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (\frac{2}{y^{3}} \int x d x)$

Etapa 9.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \int x d x$

Etapa 9.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 9.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Reescreva $- \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 9.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Etapa 9.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Etapa 9.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} x^{2} + C$

Etapa 9.5.2.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{y^{3}}$ em relação a $y$ é $- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{3}}$ como ${(y^{3})}^{- 1}$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{3}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{3}$ .

$- x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{3}$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- x^{2} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.7

Multiplique $y^{- 6}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.7.1

Mova $y^{2}$ .

$- x^{2} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{2} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.3.8

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} \frac{1}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{y^{4}}$ .

$x^{2} \frac{3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.5.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{3}{y^{4}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.5.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 12.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Subtraia $\frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} - \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2} - 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2}) - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Subtraia $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.5

Some $0$ e $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.6

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.6.1

Fatore $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.6.2.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $\frac{2}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- \frac{2}{y^{2}}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Etapa 14.4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Etapa 14.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 14.6

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 14.7

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 14.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Etapa 14.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Etapa 14.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.9.1

Reescreva $- 2 (- y^{- 1} + C)$ como $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Etapa 14.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Etapa 14.9.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{2}{y} + C$