Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 4 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{4 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Etapa 6.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Etapa 6.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Etapa 6.5

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 6.5.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 6.5.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 6.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Etapa 6.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 6.7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.8.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Etapa 6.10

Reescreva $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Etapa 6.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Etapa 6.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Etapa 6.12.1.2

Combine $\frac{x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Etapa 6.12.1.3

Combine $e^{4 x}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.12.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.12.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.12.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Etapa 6.12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{4 x}}{16}$ para o numerador.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Etapa 6.12.4.2

Fatore $2$ de $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Etapa 6.12.4.3

Cancele o fator comum.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Etapa 6.12.4.4

Reescreva a expressão.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Etapa 6.12.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Etapa 6.13

Reordene os termos.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ por $e^{4 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Divida $- \frac{1}{8}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $\frac{1}{8}$ de $\frac{1}{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Reordene $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.2.2

Para escrever $x \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.2.3

Combine $x \frac{1}{2}$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.3.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.4

Para escrever $\frac{4 x - 1}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Etapa 7.3.5

Para escrever $\frac{C}{e^{4 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 7.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8 e^{4 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.6.1

Multiplique $\frac{4 x - 1}{8}$ por $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 7.3.6.2

Multiplique $\frac{C}{e^{4 x}}$ por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

Etapa 7.3.6.3

Reordene os fatores de $e^{4 x} \cdot 8$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Etapa 7.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Etapa 7.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Etapa 7.3.8.2

Reescreva $- 1 e^{4 x}$ como $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Etapa 7.3.8.3

Mova $8$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$