Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = e^{x - t}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{x - t}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{x - t}$ .

$\frac{d x}{d t} = v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d t}$ ao diferenciar $e^{x - t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = x - t$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [x - t]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [x - t]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} \frac{d}{d t} [x - t]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1)$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{x - t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (x' - 1)$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} + 1 = v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = v - 1$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Etapa 5.1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d t} = (v - 1) v$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Simplifique $(v - 1) v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d t} = v \cdot v - 1 v$

Etapa 5.1.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1.2.1

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - 1 v$

Etapa 5.1.3.2.1.2.2

Reescreva $- 1 v$ como $- v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - v$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $v^{2} - v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = 1$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d t$

Etapa 6

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d t$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 6.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $v$ de $v^{2} - v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Fatore $v$ de $v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Fatore $v$ de $- v$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Etapa 6.2.1.1.1.3

Fatore $v$ de $v \cdot v + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Etapa 6.2.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $v - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.1.2

Divida $A (v - 1)$ por $1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.5

Cancele o fator comum de $v - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.1.6.5.2

Divida $B v$ por $1$ .

$1 = A v - A + B v$

Etapa 6.2.1.1.7

Mova $- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Etapa 6.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 6.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A$

Etapa 6.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Etapa 6.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 6.2.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = - 1 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1.3.1.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + B$ .

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Etapa 6.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = - 1$

Etapa 6.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = - 1$

Etapa 6.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Etapa 6.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Etapa 6.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Etapa 6.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $v$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Etapa 6.2.4

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Etapa 6.2.5

Deixe $u_{2} = v - 1$ . Depois, $d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.2.5.1

Deixe $u_{2} = v - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Etapa 6.2.5.1.1

Diferencie $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Etapa 6.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v - 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 1$ em relação a $v$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Etapa 6.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Etapa 6.2.7

Simplifique.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Etapa 6.2.8

Reordene os termos.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d t$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = t + C_{4}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = t + C$

Etapa 7

Resolva $v$ .

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Etapa 7.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = t + C$

Etapa 7.2

Reordene $t$ e $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$

Etapa 7.3

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + t}$

Etapa 7.4

Reescreva $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Etapa 7.5

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$

Etapa 7.5.2

Multiplique os dois lados por $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Etapa 7.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1

Cancele o fator comum de $| v |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Etapa 7.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| u_{2} | = e^{C + t} | v |$

Etapa 7.5.4

Resolva $v$ .

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Etapa 7.5.4.1

Reescreva a equação como $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + t} | v | = | u_{2} |$

Etapa 7.5.4.2

Divida cada termo em $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + t}$ e simplifique.

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Etapa 7.5.4.2.1

Divida cada termo em $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ por $e^{C + t}$ .

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Etapa 7.5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{C + t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Etapa 7.5.4.2.2.1.2

Divida $| v |$ por $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Etapa 7.5.4.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Etapa 8

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reordene os termos.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}$

Etapa 8.2

Reescreva $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}$

Etapa 8.3

Reordene $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{x - t}$ .

$e^{x - t} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x - t}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Etapa 10.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Expanda $\ln (e^{x - t})$ movendo $x - t$ para fora do logaritmo.

$(x - t) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Etapa 10.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(x - t) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $x - t$ por $1$ .

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Etapa 10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}})$

Etapa 10.4

Some $t$ aos dois lados da equação.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}) + t$

Etapa 11

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 11.1

Reordene os termos.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}) + t$

Etapa 11.2

Reescreva $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}) + t$

Etapa 11.3

Reordene $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}) + t$