Cálculo Exemplos

$2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

Etapa 2.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = - 2 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x = - 2 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x y$ por $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $x$ de $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $x$ de $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4}{2 y}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.5

Substitua $2 x y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Combine $2$ e $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4

Combine $x$ e $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $y^{2} - x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $y^{2} - x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $\frac{2}{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{y}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $2$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.5

Combine $\frac{1}{y}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{y}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Expanda $(- y - x) (y - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.3.1.1.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.3.1.6.1

Mova $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.8

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.2

Subtraia $x y$ de $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.2.2

Subtraia $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.3

Some $- y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Etapa 12.1.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $1$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Etapa 13.3

Aplique a regra da constante.

$g (y) = y + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$