Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 4)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(e^{x} + 4)}^{2}$ como $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 4) (e^{x} + 4) d x$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 4) + 4 (e^{x} + 4) d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 (e^{x} + 4) d x$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Etapa 2.3.1.3.1.1.2

Some $x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 \cdot e^{x} + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 e^{x} + 16 d x$

Etapa 2.3.1.3.2

Some $4 e^{x}$ e $4 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Etapa 2.3.4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Etapa 2.3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Etapa 2.3.7

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 \int e^{x} d x + \int 16 d x$

Etapa 2.3.8

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + \int 16 d x$

Etapa 2.3.9

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + 16 x + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Etapa 2.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Etapa 2.3.12

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + K$