Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ , $y (0) = 5$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 3 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$y + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = x^{3} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $5$ por $y$ em $y = x^{3} + K$ .

$5 = 0^{3} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $0^{3} + K = 5$ .

$0^{3} + K = 5$

Etapa 4.2

Simplifique $0^{3} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + K = 5$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 5$

Etapa 5

Substitua $5$ por $K$ em $y = x^{3} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $5$ por $K$ .

$y = x^{3} + 5$