Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + 2 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Etapa 1.5

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Etapa 1.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Some $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Etapa 1.6.2

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $2 y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 y$ por $N$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $2 y + 0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Etapa 4.3.2.2

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (y) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Etapa 4.3.2.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Etapa 4.3.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Etapa 4.3.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 0}{y}$

Etapa 4.3.3

Some $y$ e $0$ .

$\frac{y}{y}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ pelo fator de integração $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x^{2} + y^{2} + 2 x$ por $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $2 y$ por $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 2 y e^{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $2 e^{x}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 e^{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $\frac{2}{2}$ e $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{x} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 11.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $y^{2} e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Subtraia $y^{2} e^{x}$ de $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.7

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.8

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Etapa 13.9

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Etapa 13.10

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Etapa 13.11

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Etapa 13.12

Simplifique.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Etapa 15.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Etapa 15.2

Combine os termos opostos em $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Some $- 2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Etapa 15.2.2

Some $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ e $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Etapa 15.2.3

Subtraia $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Etapa 15.2.4

Some $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Etapa 15.3

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$