Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $\frac{x}{x + 2} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $x$ por $x + 2$ .

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Etapa 2.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Etapa 2.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Etapa 2.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 2$ .

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Etapa 2.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Etapa 2.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.7

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.7.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.7.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.7.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x + 2 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

Etapa 3.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x + 2 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

Etapa 3.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ por ${(x + 2)}^{2}$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ por ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Divida $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$