Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2} + y) d x + (2 x y + x + e^{y}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 1$

Etapa 1.6

Some $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x y + x + e^{y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x + e^{y}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + x + e^{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.4.2

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + 0$

Etapa 2.4.3

Some $2 y + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y + 1 = 2 y + 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 y + 1 = 2 y + 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} + y d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x + \int y d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x + \int y d x$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + \int y d x$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + y x + C$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.2.2

Como $\frac{1}{3} x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 x y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Some $0$ e $2 x y$ .

$2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x = 2 x y + x + e^{y}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + x = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y$

Etapa 9.1.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} + 0 - x$

Etapa 9.1.3.2

Some $x + e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} - x$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + e^{y}$

Etapa 9.1.3.4

Some $0$ e $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $e^{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Etapa 10.3

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$