Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 t y + 3 y - 4 t - 6$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d t} = (2 t y + 3 y) - 4 t - 6$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d t} = y (2 t + 3) - 2 (2 t + 3)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 t + 3$ .

$\frac{d y}{d t} = (2 t + 3) (y - 2)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((2 t + 3) (y - 2))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $y - 2$ de $(2 t + 3) (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (2 t + 3))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (2 t + 3))$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 2} \frac{d y}{d t} = 2 t + 3$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y - 2} d y = (2 t + 3) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int 2 t + 3 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y - 2$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 t + 3 d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 t + 3 d t$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int 2 t + 3 d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int 2 t d t + \int 3 d t$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 \int t d t + \int 3 d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 3 d t$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 3 t + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 3 t + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = t^{2} + 3 t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = t^{2} + 3 t + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y - 2 |)} = e^{t^{2} + 3 t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y - 2 |) = t^{2} + 3 t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t^{2} + 3 t + C} = | y - 2 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y - 2 | = e^{t^{2} + 3 t + C}$ .

$| y - 2 | = e^{t^{2} + 3 t + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y - 2 = \pm e^{t^{2} + 3 t + C}$

Etapa 3.3.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \pm e^{t^{2} + 3 t + C} + 2$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{t^{2} + 3 t + C}$ como $e^{t^{2} + 3 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{t^{2} + 3 t} e^{C} + 2$

Etapa 4.2

Reordene $e^{t^{2} + 3 t}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{t^{2} + 3 t} + 2$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{t^{2} + 3 t} + 2$