Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y \cot (2 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Some $2 y \cot (2 x)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = 2 x$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $2 y \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = 2 x$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $2 \cot (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = 2 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 \cot (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Etapa 2.2

Integre $2 \cot (2 x)$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Etapa 2.2.3

Combine $\cot (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.5.3

Multiplique $\int \cot (u) d u$ por $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Etapa 2.2.6

A integral de $\cot (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sin (2 x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sin (2 x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) (2 x)$

Etapa 3.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Mova os parênteses.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Etapa 3.2.2

Reordene $\sin (2 x)$ e $2 \cot (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

Etapa 3.2.3

Adicione parênteses.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Etapa 3.2.4

Reescreva $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

Etapa 3.2.5

Cancele os fatores comuns.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = 2 x \sin (2 x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = 2 x \sin (2 x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int 2 x \sin (2 x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sin (2 x) y = \int 2 x \sin (2 x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\sin (2 x) y = 2 \int x \sin (2 x) d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 7.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 7.5.2

Multiplique $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ por $1$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

Etapa 7.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 7.7

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.7.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7.8

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 7.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 7.10

Simplifique.

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Etapa 7.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 7.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Etapa 7.11

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

Etapa 7.12

Simplifique.

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Etapa 7.12.1

Reescreva $2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ como $2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 7.12.2

Simplifique.

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Etapa 7.12.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 7.12.2.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

Etapa 7.12.2.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Etapa 7.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

Etapa 7.14

Simplifique.

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Etapa 7.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 7.14.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.14.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ para o numerador.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 7.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 7.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 7.14.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.14.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 (2)} + C$

Etapa 7.14.3.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 7.14.3.3

Reescreva a expressão.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 7.14.4

Reordene os fatores em $- \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 7.15

Reordene os termos.

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ por $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Separe as frações.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.3.1.2

Converta de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ em $\cot (2 x)$ .

$y = \frac{- x}{1} \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.3.1.3

Divida $- x$ por $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.3.1.4

Cancele o fator comum de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 8.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.3.1.4.2

Divida $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.3.1.5

Separe as frações.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Etapa 8.3.1.6

Converta de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ em $\csc (2 x)$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Etapa 8.3.1.7

Divida $C$ por $1$ .

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + C \csc (2 x)$