Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x \ln (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 4 x \ln (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 4 x \ln (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 4 x \ln (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 \int x \ln (x) d x$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.3.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Etapa 2.3.3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 2.3.3.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Etapa 2.3.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.5.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 2.3.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Etapa 2.3.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}))$

Etapa 2.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$

Etapa 2.3.6.2

Reescreva $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$ como $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$

Etapa 2.3.6.3

Reordene os termos.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + K$