Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{11}{x} y = 3 x^{2}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{11}{x}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{11}{x} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{11}{x}$ .

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Etapa 1.2.1

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$e^{11 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{11 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

$e^{11 \ln (| x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{11 \ln (x)}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{11})}$

Etapa 1.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{11}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{11}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $x^{11}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{11} (\frac{11}{x} y) = x^{11} (3 x^{2})$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{11}{x}$ e $y$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{11} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{11}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{10} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{10} \frac{11 y}{x} = x^{11} (3 x^{2})$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + x^{10} (11 y) = x^{11} (3 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = x^{11} (3 x^{2})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{11} x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique $x^{11}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 (x^{2} x^{11})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{2 + 11}$

Etapa 2.4.3

Some $2$ e $11$ .

$x^{11} \frac{d y}{d x} + 11 x^{10} y = 3 x^{13}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{11} y] = 3 x^{13}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{11} y] d x = \int 3 x^{13} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x^{11} y = \int 3 x^{13} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$x^{11} y = 3 \int x^{13} d x$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{13}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{14} x^{14}$ .

$x^{11} y = 3 (\frac{1}{14} x^{14} + C)$

Etapa 6.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{14} x^{14} + C)$ como $3 (\frac{1}{14}) x^{14} + C$ .

$x^{11} y = 3 (\frac{1}{14}) x^{14} + C$

Etapa 6.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{14}$ .

$x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$ por $x^{11}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $x^{11} y = \frac{3}{14} x^{14} + C$ por $x^{11}$ .

$\frac{x^{11} y}{x^{11}} = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x^{11}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{11} y}{x^{11}} = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{14} x^{14}}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{14}$ e $x^{11}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $x^{11}$ de $\frac{3}{14} x^{14}$ .

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11}} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11} \cdot 1} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{11} (\frac{3}{14} x^{3})}{x^{11} \cdot 1} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{3}{14} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $\frac{3}{14} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{3}{14} x^{3} + \frac{C}{x^{11}}$

Etapa 7.3.1.2

Combine $\frac{3}{14}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{3 x^{3}}{14} + \frac{C}{x^{11}}$