Cálculo Exemplos

$\frac{d R}{d t} = \frac{60}{t^{2}}$ , $R (1) = 20$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d R = \frac{60}{t^{2}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d R = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$R + C_{1} = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $60$ é constante com relação a $t$ , mova $60$ para fora da integral.

$R + C_{1} = 60 \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $t^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$R + C_{1} = 60 \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$R + C_{1} = 60 \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$R + C_{1} = 60 \int t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- 2}$ com relação a $t$ é $- t^{- 1}$ .

$R + C_{1} = 60 (- t^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $60 (- t^{- 1} + C_{2})$ como $60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$ .

$R + C_{1} = 60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$R + C_{1} = - 60 \frac{1}{t} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Combine $- 60$ e $\frac{1}{t}$ .

$R + C_{1} = \frac{- 60}{t} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$R + C_{1} = - \frac{60}{t} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$R = - \frac{60}{t} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $t$ e $20$ por $R$ em $R = - \frac{60}{t} + K$ .

$20 = - \frac{60}{1} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{60}{1} + K = 20$ .

$- \frac{60}{1} + K = 20$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Divida $60$ por $1$ .

$- 1 \cdot 60 + K = 20$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$- 60 + K = 20$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $60$ aos dois lados da equação.

$K = 20 + 60$

Etapa 4.3.2

Some $20$ e $60$ .

$K = 80$

Etapa 5

Substitua $80$ por $K$ em $R = - \frac{60}{t} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $80$ por $K$ .

$R = - \frac{60}{t} + 80$