Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 20 - 4 x - 5 y + x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (20 - 4 x) - 5 y + x y$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = 4 (5 - x) - y (5 - x)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = (5 - x) (4 - y)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{4 - y}$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((5 - x) (4 - y))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $4 - y$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $4 - y$ de $(5 - x) (4 - y)$ .

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = 5 - x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{4 - y} d y = (5 - x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{4 - y} d y = \int 5 - x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 4 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 4 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 - x d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - y$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 d x + \int - x d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - x d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - \int x d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 4 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 4 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| 4 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Divida $\frac{1}{2} x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{5 x}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot (5 x)$ como $- (5 x)$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - (5 x) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.7

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.8

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 4 - y |)} = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} = | 4 - y |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$4 - y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Para escrever $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.2

Para escrever $\frac{- 4}{- 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.4.3.3.1

Multiplique $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.3

Multiplique $\frac{- 4}{- 1}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{- - 1}$

Etapa 3.4.4.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1 - 4 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.2

Reescreva $- 1 (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ como $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

Etapa 3.4.4.3.5.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4}{1}$

Etapa 3.4.4.3.6

Divida $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$ por $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}) + 4$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}) + 4$

Etapa 4.3

Reordene $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$