Cálculo Exemplos

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Etapa 1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Etapa 1.1.1.3

Some $1$ e $3$ .

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ por $f x^{4}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ por $f x^{4}$ .

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $f$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{f}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{f}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

Etapa 2.3.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

Etapa 2.3.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

Etapa 2.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

Etapa 2.3.4.5

Some $1$ e $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Etapa 2.3.8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.8.1

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

Etapa 2.3.8.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

Etapa 2.3.8.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

Etapa 2.3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

Etapa 2.3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.10.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

Etapa 2.3.10.1.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

Etapa 2.3.10.2

Reescreva $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ como $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.11

Reordene os termos.

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$