Cálculo Exemplos

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2

Reordene $e^{t}$ e $\cos (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

Etapa 6.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (2 t)$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

Etapa 6.4

Como $- 2$ é constante com relação a $t$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

Etapa 6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

Etapa 6.5.2

Reordene $e^{t}$ e $\sin (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

Etapa 6.6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (2 t)$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

Etapa 6.7

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

Etapa 6.8

Simplifique multiplicando.

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Etapa 6.8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Etapa 6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Etapa 6.8.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

Etapa 6.9

Ao resolver $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ , descobrimos que $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

Etapa 6.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.10.1

Reescreva $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ como $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ .

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

Etapa 6.10.2

Simplifique.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ por $e^{t}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $q$ por $1$ .

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ por $1$ .

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.3.1.3

Combine $\frac{4}{5}$ e $\cos (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.3.1.4

Multiplique $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ .

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Etapa 7.3.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{4}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.3.1.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 7.3.1.4.3

Combine $\frac{8}{5}$ e $\sin (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $t$ e $1$ por $q$ em $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ .

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Simplifique $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.2.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.2.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.2.6

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.3

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Etapa 9.2.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

Etapa 9.2.1.4.2

Divida $C$ por $1$ .

$\frac{4}{5} + C = 1$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.3.1

Subtraia $\frac{4}{5}$ dos dois lados da equação.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

Etapa 9.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Etapa 9.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

Etapa 9.3.4

Subtraia $4$ de $5$ .

$C = \frac{1}{5}$

Etapa 10

Substitua $\frac{1}{5}$ por $C$ em $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $\frac{1}{5}$ por $C$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

Etapa 10.2.2

Combine.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$