Cálculo Exemplos

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

Etapa 1.1.1.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.2.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Some $y x^{2}$ aos dois lados da equação.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{x^{2}}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

Etapa 1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

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Etapa 1.4.3.1

Fatore $1 + y$ de $x^{2} (1 + y)$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Etapa 1.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Etapa 1.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Reordene $1$ e $y$ .

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

Divida $y$ por $y + 1$ .

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Etapa 2.2.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Etapa 2.2.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Etapa 2.2.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Etapa 2.2.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 2.2.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.6

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.6.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.6.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$