Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $3 + y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 3 + y$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 3 + y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 + y$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 1 - 2 x$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 1 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.3.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 2.3.1.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - 2 x$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1

Combine $\ln (| 1 - 2 x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 3 + y |) + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.3

Para escrever $\ln (| 3 + y |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine $\ln (| 3 + y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| 3 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2}$ .

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Etapa 3.6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| 3 + y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| 3 + y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.2

Reescreva $\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |) = C$

Etapa 3.6.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.4

Aplique a regra do produto a ${(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |$ .

$\ln ({({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique os expoentes em ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.6.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln ({(3 + y)}^{1} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.6

Simplifique.

$\ln ((3 + y) {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Etapa 3.8

Reescreva $\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9

Resolva $y$ .

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Etapa 3.9.1

Reescreva a equação como $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Etapa 3.9.2

Subtraia $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.9.3

Divida cada termo em $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ por ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Divida cada termo em $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ por ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.9.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.3.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.9.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$