Cálculo Exemplos

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{x + y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{x + y}$ .

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{x + y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

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Etapa 4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

Etapa 4.2

Some $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ e $0$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Etapa 5.1.2

Simplifique.

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Etapa 5.1.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 5.1.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Etapa 5.1.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

Etapa 5.1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.2.2.1

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.2.2.1.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

Etapa 5.1.2.2.1.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $v^{2}$ de $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

Etapa 6

Integre os dois lados.

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Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1.1

Mova $v^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $v^{- 2}$ com relação a $v$ é $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 6.2.3

Reescreva $- v^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 7

Resolva $v$ .

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Etapa 7.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$v, 2, 1$

Etapa 7.2.2

Como $v, 2, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $v, 2, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $v, 2, 1$ .

Etapa 7.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 7.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 7.2.5

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 7.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 7.2.7

O MMC de $1, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 7.2.8

O fator de $v^{1}$ é o próprio $v$ .

$v^{1} = v$

$v$ ocorre $1$ vez.

Etapa 7.2.9

O MMC de $v^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$v$

Etapa 7.2.10

O MMC de $v, 2, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 v$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 v$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ por $2 v$ .

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 7.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{v}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Etapa 7.3.2.1.2

Fatore $v$ de $2 v$ .

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Etapa 7.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Etapa 7.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Etapa 7.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Etapa 7.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Etapa 7.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

Etapa 7.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

Etapa 7.4

Resolva a equação.

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Etapa 7.4.1

Reescreva a equação como $x^{2} v + 2 K v = - 2$ .

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

Etapa 7.4.2

Fatore $v$ de $x^{2} v + 2 K v$ .

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Etapa 7.4.2.1

Fatore $v$ de $x^{2} v$ .

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

Etapa 7.4.2.2

Fatore $v$ de $2 K v$ .

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

Etapa 7.4.2.3

Fatore $v$ de $v (x^{2}) + v (2 K)$ .

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

Etapa 7.4.3

Divida cada termo em $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ por $x^{2} + 2 K$ e simplifique.

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Etapa 7.4.3.1

Divida cada termo em $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ por $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 7.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2 K$ .

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Etapa 7.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 7.4.3.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 7.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Etapa 8

Simplifique a constante de integração.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Etapa 10.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Expanda $\ln (e^{x + y})$ movendo $x + y$ para fora do logaritmo.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Etapa 10.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Etapa 10.2.3

Multiplique $x + y$ por $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Etapa 10.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$