Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

Etapa 1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , em que $P (y) = - 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d y}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- y + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- y}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- y}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

Etapa 3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.5.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.6

Deixe $u_{1} = - y$ . Depois, $d u_{1} = - d y$ , então, $- d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.6.1

Deixe $u_{1} = - y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 7.6.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 7.6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 7.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.8

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

Etapa 7.9

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

Etapa 7.10

Deixe $u_{2} = - y$ . Depois, $d u_{2} = - d y$ , então, $- d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.10.1

Deixe $u_{2} = - y$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Etapa 7.10.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 7.10.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 7.10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.10.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.11

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 7.12

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.13

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 7.14

Simplifique.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.3.1

Subtraia $3 e^{- y}$ de $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 y e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- 5 e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3.5

Fatore $- 1$ de $C$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.3.3.7.1

Reescreva $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ como $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ .

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Etapa 8.3.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$