Cálculo Exemplos

$(2 x + 2 y + 2) d x + (2 x - 2 y^{2} + 6) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 2 y + 2]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 2 y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 1.2.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 + 0$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Some $0$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x - 2 y^{2} + 6$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - 2 y^{2} + 6]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 2 y^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 2.4.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + 0$

Etapa 2.5

Combine os termos.

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Etapa 2.5.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 2$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 = 2$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + 2 y + 2 d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 2 x + 2 y + 2$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y d x + \int 2 d x$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + \int 2 d x$

Etapa 5.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y x + C + 2 x + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.2.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y x$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.4

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Combine os termos.

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Etapa 8.6.1.1

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.6.1.2

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x - 2 y^{2} + 6$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $2 x - 2 y^{2} + 6 - 2 x$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6 + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $- 2 y^{2} + 6$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- 2 y^{2} + 6$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2} + 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} + 6 d y$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y + \int 6 d y$

Etapa 10.4

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y + \int 6 d y$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 6 d y$

Etapa 10.6

Aplique a regra da constante.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 6 y + C$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 6 y + C$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (y) = \frac{- 2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

Etapa 10.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$

Etapa 10.10

Simplifique.

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Etapa 10.10.1

Reordene os termos.

$g (y) = - (\frac{2}{3} y^{3}) + 6 y + C$

Etapa 10.10.2

Remova os parênteses.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2}{3} y^{3} + 6 y + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + 6 y + C$

Etapa 12.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} + 2 y x + 2 x - \frac{2 y^{3}}{3} + 6 y + C$