Cálculo Exemplos

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 7 x$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$y d y = (x^{2} - 7 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int x^{2} - 7 x d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 7 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 7 x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 7 x d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 7$ é constante com relação a $x$ , mova $- 7$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 \int x d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Combine $- 7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 7}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{7}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 7}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Mova $7$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $2$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7 x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Para escrever $- 7 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $- 7 x^{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 3.4.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.3.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 7 x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.3.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.3.2

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K}$

Etapa 3.4.4

Para escrever $2 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.4.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.5.1

Combine $2 K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6.3

Mova $- 21$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.6.4.1

Mova $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.6.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6.4.3

Some $1$ e $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.4.6.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$

Etapa 3.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.8

Multiplique $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.9

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.9.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.9.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.9.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.4.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.9.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.4.9.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.4.9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.4.9.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.4.10

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

Etapa 3.4.11

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$