Cálculo Exemplos

$(1 + e^{x}) (y d) y = e^{x} d x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $1 + e^{x}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $1 + e^{x}$ de $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) (y)) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Etapa 2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Etapa 2.1.3

Reescreva a expressão.

$y d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{1 + e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.3.1.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Diferencie $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 3.3.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.3.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 3.3.1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.3.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Etapa 4.3

Simplifique $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Etapa 4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.5

Remova o valor absoluto em ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Etapa 5

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$