Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante com relação a $t$ , mova $12$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 12 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 2 t^{2} - 1$ . Depois, $d u = 4 t d t$ , então, $\frac{1}{4} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 2 t^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{2} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{2}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 t + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $4 t$ e $0$ .

$4 t$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{4} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{3}{1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$s + C_{1} = 3 \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$