Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Etapa 2

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

Etapa 2.3

Reescreva a equação.

$y d y = 3 t^{2} d t$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.3

Multiplique $t^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

Etapa 4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

Etapa 4.4

Fatore $2$ de $2 t^{3} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $2 t^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Etapa 4.4.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Etapa 4.4.3

Fatore $2$ de $2 (t^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Etapa 4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Etapa 4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Etapa 5

Como $y$ não é negativo na condição inicial $(2, 0)$ , considere apenas $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ para encontrar $K$ . Substitua $2$ por $t$ e $0$ por $y$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ .

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ como ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3.2

Simplifique.

$16 + 2 K = 0^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 + 2 K = 0$

Etapa 6.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$2 K = - 16$

Etapa 6.4.2

Divida cada termo em $2 K = - 16$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Divida cada termo em $2 K = - 16$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Divida $- 16$ por $2$ .

$K = - 8$

Etapa 7

Substitua $- 8$ por $K$ em $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $- 8$ por $K$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

Etapa 7.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

Etapa 7.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = t$ e $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

Etapa 7.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

Etapa 7.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$