Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 \sqrt{x}}$ , $y (16) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $\frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $16$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{9} \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{9} \cdot 4^{1} + K = 0$

Etapa 4.2.4

Avalie o expoente.

$\frac{2}{9} \cdot 4 + K = 0$

Etapa 4.2.5

Multiplique $\frac{2}{9} \cdot 4$ .

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Etapa 4.2.5.1

Combine $\frac{2}{9}$ e $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{9} + K = 0$

Etapa 4.2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8}{9} + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $\frac{8}{9}$ dos dois lados da equação.

$K = - \frac{8}{9}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{8}{9}$ por $K$ em $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{8}{9}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{9}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{2}{9}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{8}{9}$