Cálculo Exemplos

$(y + 4) d x + x d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y + 4) d x$ dos dois lados da equação.

$x d y = - (y + 4) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y + 4$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x (y + 4)}$ para o numerador.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y + 4$ de $x (y + 4)$ .

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u = y + 4$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u = y + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 4.2.1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

Etapa 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

Etapa 5.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

Etapa 5.6

Reescreva $\ln (| y x + 4 x |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

Etapa 5.7

Resolva $y$ .

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Etapa 5.7.1

Reescreva a equação como $| y x + 4 x | = e^{C}$ .

$| y x + 4 x | = e^{C}$

Etapa 5.7.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

Etapa 5.7.3

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

Etapa 5.7.4

Divida cada termo em $y x = \pm e^{C} - 4 x$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.7.4.1

Divida cada termo em $y x = \pm e^{C} - 4 x$ por $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Etapa 5.7.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.7.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Etapa 5.7.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Etapa 5.7.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.4.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.7.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Etapa 5.7.4.3.1.2

Divida $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C}{x} - 4$