Cálculo Exemplos

$\frac{d P}{d t} = \frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $P$ de $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1.1

Fatore $P$ de $\frac{1}{10} P$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.1.1.2

Fatore $P$ de $- \frac{1}{5000} P^{2}$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.1.1.3

Fatore $P$ de $P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.1.2

Combine $P$ e $\frac{1}{5000}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.1.3

Para escrever $\frac{1}{10}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $5000$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{10 \cdot 500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Multiplique $10$ por $500$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{5000} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{P \frac{500 - P}{5000}} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.2

Combine $P$ e $\frac{500 - P}{5000}$ .

$\int \frac{1}{\frac{P (500 - P)}{5000}} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\int 1 \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $\frac{5000}{P (500 - P)}$ por $1$ .

$\int \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Etapa 2.2.2

Como $5000$ é constante com relação a $P$ , mova $5000$ para fora da integral.

$5000 \int \frac{1}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Etapa 2.2.3

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $P (500 - P)$ .

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $500 - P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.5.1

Cancele o fator comum de $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.5.1.2

Divida $A (500 - P)$ por $1$ .

$1 = A (500 - P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 500 + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.5.3

Mova $500$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 500 \cdot A + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 500 \cdot A - A P + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.5.5

Cancele o fator comum de $500 - P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.5.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 500 A - A P + \frac{B (P (500 - P))}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.1.5.5.2

Divida $(B) (P)$ por $1$ .

$1 = 500 A - A P + (B) (P)$

$1 = 500 A - A P + B P$

Etapa 2.2.3.1.6

Mova $500 A$ .

$1 = - A P + B P + 500 A$

Etapa 2.2.3.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $P$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.3.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $P$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 500 A$

Etapa 2.2.3.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

Etapa 2.2.3.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Resolva $A$ em $1 = 500 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.1

Reescreva a equação como $500 A = 1$ .

$500 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.3.3.1.2

Divida cada termo em $500 A = 1$ por $500$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.2.1

Divida cada termo em $500 A = 1$ por $500$ .

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.3.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.3.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.3.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{500}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{500}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{500}) + B$

$A = \frac{1}{500}$

Etapa 2.2.3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.1

Reescreva $- 1 (\frac{1}{500})$ como $- (\frac{1}{500})$ .

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

Etapa 2.2.3.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{500} + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{500} + B = 0$ .

$- \frac{1}{500} + B = 0$

$A = \frac{1}{500}$

Etapa 2.2.3.3.3.2

Some $\frac{1}{500}$ aos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

Etapa 2.2.3.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{1}{500} A = \frac{1}{500}$

Etapa 2.2.3.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{500}, A = \frac{1}{500}$

Etapa 2.2.3.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{500}}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{500} \cdot \frac{1}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.5.2

Multiplique $\frac{1}{500}$ por $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{500 P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{500 P} + \frac{1}{500} \cdot \frac{1}{500 - P}$

Etapa 2.2.3.5.4

Multiplique $\frac{1}{500}$ por $\frac{1}{500 - P}$ .

$5000 \int \frac{1}{500 P} + \frac{1}{500 (500 - P)} d P = \int d t$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$5000 (\int \frac{1}{500 P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{500}$ é constante com relação a $P$ , mova $\frac{1}{500}$ para fora da integral.

$5000 (\frac{1}{500} \int \frac{1}{P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{P}$ com relação a $P$ é $\ln (| P |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Etapa 2.2.7

Como $\frac{1}{500}$ é constante com relação a $P$ , mova $\frac{1}{500}$ para fora da integral.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{1}{500 - P} d P) = \int d t$

Etapa 2.2.8

Deixe $u = 500 - P$ . Depois, $d u = - d P$ , então, $- d u = d P$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Deixe $u = 500 - P$ . Encontre $\frac{d u}{d P}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{- 1}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int - \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Etapa 2.2.11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- (\ln (| u |) + C_{2}))) = \int d t$

Etapa 2.2.12

Simplifique.

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| u |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $500 - P$ .

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - P |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5000 \frac{\ln (| P |) - \ln (| 500 - P |)}{500} + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.14.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5000 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.14.3

Cancele o fator comum de $500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.3.1

Fatore $500$ de $5000$ .

$500 (10) \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.14.3.2

Cancele o fator comum.

$500 \cdot 10 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.14.3.3

Reescreva a expressão.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$

Etapa 3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ por $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})$ por $1$ .

$\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Etapa 3.2

Para resolver $P$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} = \frac{| P |}{| 500 - P |}$

Etapa 3.4

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique os dois lados por $| 500 - P |$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Cancele o fator comum de $| 500 - P |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Etapa 3.4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Etapa 3.4.4

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Reescreva a equação como $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$

Etapa 3.4.4.2

Divida cada termo em $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ por $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Divida cada termo em $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ por $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Etapa 3.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Etapa 3.4.4.2.2.1.2

Divida $| 500 - P |$ por $1$ .

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Etapa 3.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Etapa 3.4.4.3

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Etapa 3.4.4.4

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Etapa 3.4.4.5

Resolva $500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ para $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1

Multiplique os dois lados por $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.2.1.1

Simplifique $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.2.1.1.2.1

Reordene $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.2.1.1.2.2

Reordene $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.2.1.1.2.3

Reordene $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ e $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = P$

Etapa 3.4.4.5.3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.1

Subtraia $P$ dos dois lados da equação.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} - P = 0$

Etapa 3.4.4.5.3.2

Mova todos os termos que não contêm $P$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.2.1

Subtraia $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ dos dois lados da equação.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.3.2.2

Divida a fração $\frac{C + t}{10}$ em duas frações.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.3.3

Fatore $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}} - P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.3.1

Fatore $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.3.3.2

Fatore $P$ de $- P$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.3.3.3

Fatore $P$ de $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.3.4

Reescreva $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ como $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.5.3.5

Divida cada termo em $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.5.1

Divida cada termo em $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.2.1.2

Divida $P$ por $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.3

Fatore $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.5

Fatore $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.6.1

Reescreva $- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ como $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.5.3.5.3.6.4

Multiplique $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$ por $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.6

Resolva $500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ para $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.1

Multiplique os dois lados por $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.2.1.1

Simplifique $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.2.1.1.2.1

Reordene $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.2.1.1.2.2

Reordene $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.2.1.1.2.3

Reordene $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ e $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ para o numerador.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - P$

Etapa 3.4.4.6.3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.1

Some $P$ aos dois lados da equação.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} + P = 0$

Etapa 3.4.4.6.3.2

Mova todos os termos que não contêm $P$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.2.1

Subtraia $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ dos dois lados da equação.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.3.2.2

Divida a fração $\frac{C + t}{10}$ em duas frações.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.3.3

Fatore $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}} + P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.3.1

Fatore $P$ de $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.3.3.2

Eleve $P$ à potência de $1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.3.3.3

Fatore $P$ de $P^{1}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.3.3.4

Fatore $P$ de $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.3.4

Reescreva $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ como $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Etapa 3.4.4.6.3.5

Divida cada termo em $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.5.1

Divida cada termo em $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ por $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.2.1.2

Divida $P$ por $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.3

Fatore $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.5

Fatore $- 1$ de $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.6.1

Reescreva $- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ como $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.6.3.5.3.6.4

Multiplique $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$ por $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Etapa 3.4.4.7