Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 5$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 5 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{5 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{5 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{5 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} (7 x^{2})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} (7 x^{2})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 7 x^{2} e^{5 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 7 x^{2} e^{5 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{5 x} y = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$e^{5 x} y = 7 \int x^{2} e^{5 x} d x$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Etapa 6.3.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Etapa 6.3.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Etapa 6.3.4

Combine $2$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Etapa 6.3.5

Combine $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ e $x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Etapa 6.4

Como $\frac{2}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{5}$ para fora da integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Etapa 6.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Etapa 6.6

Simplifique.

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Etapa 6.6.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Etapa 6.6.2

Combine $x$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Etapa 6.6.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Etapa 6.7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Etapa 6.8

Deixe $u = 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.8.1

Deixe $u = 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.8.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 6.8.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 6.8.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 6.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Etapa 6.9

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Etapa 6.10

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Etapa 6.11

Simplifique.

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Etapa 6.11.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.11.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Etapa 6.12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Etapa 6.13

Reescreva $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ como $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Etapa 6.14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125}) + C$

Etapa 6.15

Reordene os termos.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x}) + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $x$ e $\frac{2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{x \cdot 2}{25} \cdot e^{5 x} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Etapa 7.1.2

Combine $e^{5 x}$ e $\frac{x \cdot 2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Etapa 7.1.3

Remova os parênteses.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ por $e^{5 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ por $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{5 x}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1.1

Fatore $e^{5 x}$ de $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.1.1

Fatore $e^{5 x}$ de $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.2

Fatore $e^{5 x}$ de $- \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.3

Fatore $e^{5 x}$ de $\frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.4

Fatore $e^{5 x}$ de $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25})$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.1.5

Fatore $e^{5 x}$ de $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 \cdot x}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.4

Remova os parênteses desnecessários.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.5

Para escrever $\frac{x^{2}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.6.1

Multiplique $\frac{x^{2}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.6.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{25} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1.8.1

Fatore $x$ de $x^{2} \cdot 5 - 2 x$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.8.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} \cdot 5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.8.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) + x \cdot - 2}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.8.1.3

Fatore $x$ de $x (x \cdot 5) + x \cdot - 2$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5 - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.8.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.9

Para escrever $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $125$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.10.1

Multiplique $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.10.2

Multiplique $25$ por $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{125} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{x (5 x - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(x (5 x) + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.3.1.1.12.4.1

Mova $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 (x \cdot x) - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{5 x^{2} \cdot 5 - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.12.7

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.13

Combine expoentes.

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Etapa 7.2.3.1.1.13.1

Combine $\frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}$ e $7$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.13.2

Combine $\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125}$ e $e^{5 x}$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7 e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.1.14

Mova $7$ para a esquerda de $25 x^{2} - 10 x + 2$ .

$y = \frac{\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.3

Combine.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $e^{5 x}$ .

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Etapa 7.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 1}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.1.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.2

Para escrever $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.3

Para escrever $\frac{C}{e^{5 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Etapa 7.2.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $125 e^{5 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.4.1

Multiplique $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ por $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Etapa 7.2.3.4.2

Multiplique $\frac{C}{e^{5 x}}$ por $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{e^{5 x} \cdot 125}$

Etapa 7.2.3.4.3

Reordene os fatores de $e^{5 x} \cdot 125$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{(7 (25 x^{2}) + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.6.2.1

Multiplique $25$ por $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.6.2.2

Multiplique $- 10$ por $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.6.2.3

Multiplique $7$ por $2$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 14) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Etapa 7.2.3.6.4

Mova $125$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + 125 C}{125 e^{5 x}}$