Cálculo Exemplos

$x (1 + y^{2}) d x = y d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$y d y = x (1 + y^{2}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $1 + y^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $1 + y^{2}$ de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u = 1 + y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 4.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 4.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

Etapa 5.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Etapa 5.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Etapa 5.5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

Etapa 6.2

Reescreva $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

Etapa 6.3

Reordene $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

Etapa 6.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$