Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{x - 8}$ , $y (8) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = - 4 e^{x - 8} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 4 \int e^{x - 8} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x - 8$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x - 8$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x - 8]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 8$ .

$y + C_{1} = - 4 e^{x - 8} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $8$ por $x$ e $8$ por $y$ em $y = - 4 e^{x - 8} + K$ .

$8 = - 4 e^{8 - 8} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 4 e^{8 - 8} + K = 8$ .

$- 4 e^{8 - 8} + K = 8$

Etapa 4.2

Simplifique $- 4 e^{8 - 8} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$- 4 e^{0} + K = 8$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 4 \cdot 1 + K = 8$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 + K = 8$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$K = 8 + 4$

Etapa 4.3.2

Some $8$ e $4$ .

$K = 12$

Etapa 5

Substitua $12$ por $K$ em $y = - 4 e^{x - 8} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $12$ por $K$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + 12$