Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 8 x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $4 x y$ de $4 x^{2} y - 8 x y$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $4 x y$ de $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) - 8 x y$

Etapa 1.1.2

Fatore $4 x y$ de $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x) + 4 x y (- 2)$

Etapa 1.1.3

Fatore $4 x y$ de $4 x y (x) + 4 x y (- 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x y (x - 2)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (4 x y (x - 2))$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y} (x y (x - 2))$

Etapa 1.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (x y (x - 2))$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $x y (x - 2)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} (y (x (x - 2)))$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x (x - 2))$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x + x \cdot - 2)$

Etapa 1.3.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} + x \cdot - 2)$

Etapa 1.3.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{2} - 2 \cdot x)$

Etapa 1.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 4 (- 2 x)$

Etapa 1.3.8

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 8 x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 8 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 8 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 8$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

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Etapa 2.3.6.2.3.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.6.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4}{3} x^{3} + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{3}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C}$ como $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- 4 x^{2} + \frac{4 x^{3}}{3}}$