Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Etapa 1.1.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $\frac{d y}{d x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.5.1

Reescreva $- (y^{2} + 1)$ como $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ para o numerador.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Etapa 3.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $\arctan (x)$ por $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \arctan (y)$ como $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Etapa 3.3.3.1.4

Divida $K$ por $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Etapa 3.4

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Etapa 3.5

Reescreva a equação como $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Etapa 3.6

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (y)$ de dentro da tangente.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Etapa 3.7

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Etapa 3.8

Divida cada termo em $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Divida cada termo em $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.8.2.2

Divida $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.8.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \arctan (x)$ como $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.8.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Etapa 3.8.3.1.4

Divida $K$ por $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Etapa 3.9

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Etapa 3.10

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Etapa 3.11

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $\arctan (y)$ de dentro da tangente.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Etapa 3.12

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Etapa 3.13

Divida cada termo em $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Divida cada termo em $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ por $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.13.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.13.2.2

Divida $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.13.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.13.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \arctan (x)$ como $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Etapa 3.13.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Etapa 3.13.3.1.4

Divida $K$ por $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Etapa 3.14

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$