Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 6 y \cos (3 x) = \cos (3 x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $6 y \cos (3 x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$

Etapa 1.2

Fatore $\cos (3 x)$ de $\cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 - 6 y \cos (3 x)$

Etapa 1.2.2

Fatore $\cos (3 x)$ de $- 6 y \cos (3 x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$

Etapa 1.2.3

Fatore $\cos (3 x)$ de $\cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) (1 - 6 y)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 - 6 y}$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} (\cos (3 x) (1 - 6 y))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $1 - 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $1 - 6 y$ de $\cos (3 x) (1 - 6 y)$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 - 6 y} d y = \cos (3 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 - 6 y} d y = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 1 - 6 y$ . Depois, $d u_{1} = - 6 d y$ , então, $- \frac{1}{6} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 - 6 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 - 6 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 6 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 6 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 6 y$ em relação a $y$ é $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$0 - 6$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $6$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 - 6 y$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |)) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\ln (| 1 - 6 y |)$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}$ para o numerador.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $6$ de $- 6$ .

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| 1 - 6 y |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{\sin (3 x)}{3} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 (- 2) \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 \cdot - 2 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - 6 y |)} = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} = | 1 - 6 y |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$ .

$| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

Etapa 3.5.4.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) + C}}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- 2 \sin (3 x) + C}$ como $e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- 2 \sin (3 x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$