Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{9}{1 + x}$ , $y (0) = 7$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{9}{1 + x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{9}{1 + x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{9}{1 + x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 9 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = 9 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$y + C_{1} = 9 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $7$ por $y$ em $y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$ .

$7 = 9 \ln (| 1 + 0 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $9 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$ .

$9 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$

Etapa 4.2

Simplifique $9 \ln (| 1 + 0 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $0$ .

$9 \ln (| 1 |) + C = 7$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$9 \ln (1) + C = 7$

Etapa 4.2.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$9 \cdot 0 + C = 7$

Etapa 4.2.2.3

Multiplique $9$ por $0$ .

$0 + C = 7$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $C$ .

$C = 7$

Etapa 5

Substitua $7$ por $C$ em $y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $7$ por $C$ .

$y = 9 \ln (| 1 + x |) + 7$

Etapa 5.2

Simplifique $9 \ln (| 1 + x |)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{9}) + 7$