Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3.2.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ como $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Combine $12$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

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Etapa 2.3.4.2.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.4.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $4 \sin^{3} (0) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + K = 3$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 3$

Etapa 5

Substitua $3$ por $K$ em $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $3$ por $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$