Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{9}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + \frac{1}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Reordene $x^{2}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x = \int d t$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$3 \arctan (x \cdot 3) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4.4

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$3 \arctan (3 x) = t + K$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 \arctan (3 x) = t + K$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $3 \arctan (3 x) = t + K$ por $3$ .

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\arctan (3 x)$ por $1$ .

$\arctan (3 x) = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Etapa 3.2

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do arco tangente.

$3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + K)}{3}$