Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 1

Some $2 x e^{- x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 x d x}$

Etapa 2.2

Integre $2 x$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int x d x}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

Etapa 3.4

Multiplique $e^{x^{2}}$ por $e^{- x^{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $e^{- x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

Etapa 3.4.3

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

Etapa 3.5

Simplifique $2 e^{0} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

Etapa 3.6

Reordene os fatores em $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ por $e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$