Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot x - 3 \cdot y + 1$

Etapa 1

Some $3 \cdot y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + 3 \cdot y = 2 \cdot x + 1$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 \cdot y) = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 \cdot x) + e^{3 x} \cdot 1$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1$

Etapa 3.3.2

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x + e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x} + e^{3 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} + e^{3 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.4.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.6

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.6.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.6.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.6.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.6.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.7

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.9

Simplifique.

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Etapa 7.9.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.10

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{3 x} d x$

Etapa 7.11

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.11.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.11.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 7.11.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 7.11.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 7.11.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 7.12

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Etapa 7.13

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7.14

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 7.15

Simplifique.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

Etapa 8.1.2

Remova os parênteses.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3} (x e^{3 x})$ .

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Etapa 8.2.3.2.1.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x}{3} e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.1.2

Combine $\frac{x}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 \frac{x e^{3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{x e^{3 x}}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.4

Multiplique $2 (- \frac{e^{3 x}}{9})$ .

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Etapa 8.2.3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} - 2 \frac{e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{\frac{2 (x e^{3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.2.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.3

Para escrever $\frac{e^{3 x}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.3.4.1

Multiplique $\frac{e^{3 x}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} - \frac{2 e^{3 x}}{9} + \frac{e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6

Some $- 2 e^{3 x}$ e $e^{3 x} \cdot 3$ .

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Etapa 8.2.3.6.1

Reordene $e^{3 x}$ e $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{3 x} + 3 \cdot e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.6.2

Some $- 2 e^{3 x}$ e $3 \cdot e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.7.1

Para escrever $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.3.7.2.1

Multiplique $\frac{2 x e^{3 x}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3}{9} + \frac{e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.7.4.1

Fatore $e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3 + e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.3.7.4.1.1

Fatore $e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x}}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.4.1.2

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.4.1.3

Fatore $e^{3 x}$ de $e^{3 x} (2 x \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (2 x \cdot 3 + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.5

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.6

Combine $C$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x + 1) + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.7.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{3 x} (6 x) + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.8.3

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.7.8.4

Mova $9$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.9

Multiplique $\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9}$ por $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$

Etapa 8.2.3.10

Reordene os fatores em $\frac{6 e^{3 x} x + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} + e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$