Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{6 + e^{x}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{6 + e^{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 6 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 6 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $6 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [6 + e^{x}]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.3.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 2.3.1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 + e^{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (| 6 + e^{x} |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \ln (| 6 + e^{x} |) + C$